¿Qué es un grafo? Las trampas de la intuición. Rolando Ugena

      Este trabajo, si bien breve quiere servir a la vez, de pequeña introducción a la cuestión de qué es un grafo en topología, y también, un sencillo  homenaje a uno de los psicoanalistas más reconocidos de Argentina, fallecido en 2009: Roberto Harari.       Harari, en un sesudo texto llamado Fantasma: ¿ fin del análisis ? (1) se aboca, entre un amplio abanico de problemas y nudos teóricos, a la cuestión del grafo. Interesado por ubicar el peso y “la pregnancia imaginaria de la gráfica”, señala que “sabemos que ante todo, la gráfica captura por la imagen, produce un salto de lo Imaginario a lo Simbólico” y postula que el grafo “demuestra la acción de una estructura simbólica”.

Pero ¿qué es un grafo? Según el diccionario de topología, es una terna (A,B,C ), en donde A y B son conjuntos finitos, y C es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de B un par de elementos de A. Los elementos de A se llaman vértices, los de B aristas y C asocia a cada arista con sus dos vértices. Esto da lugar a una representación gráfica, en donde cada vértice es un punto del plano, y cada arista es una línea que une a sus dos vértices. Además, si el dibujo puede efectuarse sin que haya superposición de líneas, se lo denomina grafo plano.

   Harari indica que “puede haber grafos perfectamente isomorfos en virtud de relaciones, pero que respecto de la imagen, muestran su rotunda distintividad”. Y para demostrarlo recurre a un texto de un renombrado matemático, Robin Wilson, Introducción a la teoría de grafos (2) 

     Se observa aquí como la unión de los puntos forman una figura; en cada vértice se ubica una letra y el grafo da cuenta de una situación relacional.

      Luego, elimina la conexión entre P y S, establecida mediante una recta, para restituirla mediante una línea “externa” a la figura anterior

Wilson puntualiza que entre uno y otro caso, entre P y S sólo se han alterado las propiedades “métricas”, añadiendo a continuación: “Lo que se pretende describir con un grafo es la forma en la que están conectados un conjunto de puntos, y a este fin cualquier propiedad métrica carece de interés…cualquier pareja de grafos que representen la misma situación…son el mismo grafo. O, dicho de un modo más preciso, diremos que dos grafos son isomófos.”

Allí Harari señala “que en ambos grafos se conserva la misma serie de relaciones de cada vértice con los otros, a los cuáles está unido mediante aristas:

S:      R, O, T y P

P:          O, S y T

R:              O y S

O:      R, P, T y S

T:          P, O y S

En el segundo caso, todas las relaciones y los grados están preservados, pero “la invariancia relacional se puede mantener inclusive rompiendo de modo aún más drástico con la similitud en lo figurativo”…

El grafo que sigue, presenta en cuanto a sus características simbólicas, una situación isomorfa con los anteriores:

      “El parecido se reduce hasta su virtual inexistencia, pero en sentido estricto, no es más que el mismo grafo, mantienen la situación invariante”. 

     Allí, Harari nos remite a otro texto, Matemáticas e imaginación, de Edwars Kasner y James Newman (3), que partiendo de consideraciones similares a  las de Wilson, efectúan una referencia en relación a la topología. En ese texto señalan que “la topología es una geometría no cuantitativa” y para demostrarlo recurren a la siguiente ilustración:

      De un clásico triángulo plano los autores pasan a una figura en la cual “Las líneas rectas son curvas, los ángulos están cambiados y deformados y las longitudes de los lados alteradas; pero subsisten propiedades geométricas comunes a ambas figuras. Estas propiedades, que no han sido afectadas por la deformación, son invariantes"

      Para finalizar este comentario, resulta interesante mencionar que para Harari puede así verificarse "hasta qué punto el espacio intuitivo tiene sus trampas; cómo el mantenimiento de una estructura puede producirse a contramano de lo que dicta la percepción al modo homogéneo, cotidiano, “fundado” en el reconocimiento de una imagen y de ciertas proporciones que saltan a la vista". 

       En la continuidad de su texto, extraerá algunas consecuencias acerca de la lectura del grafo de "Subversión del sujeto...". Eso podrá ser motivo de otras lecturas que renueven este homenaje (4).

Diciembre 2014

       

Notas

(1) Harari Roberto, "Fantasma:¿fin del análisis?, Ediciones Nueva Visión, 1990 

(2) Alianza editorial, Madrid,1983 páginas 12/13. 

(3) Kasner E.- Newman J., Matemáticas e imaginación, Hyspamérica, Buenos Aires, 1985, páginas 268/270 (4)  En el enlace que aparece debajo, podrán encontrar trabajos de Edgardo Feinsilber, Blanca Lorenzo y Zulema Lagrotta, que de manera mucho más lograda, claro está, de quien suscribe, recuerdan la obra de Roberto Harari.

http://www.imagoagenda.com/articulo.asp?idarticulo=1144